Rappresentazione parametrica dell'ellisse.

L'ellisse $$\mathcal{C}:\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$$ si può rappresentare parametricamente nel modo seguente:

$$\mathcal{C}: \left\{ \begin{array}{rl} x=a\cos\theta... ... y=b\sin\theta\\ 0\leq\theta<2\pi \end{array} \right.$$

Infatti dall'equazione di $\mathcal{C}$ si vede che si ha sempre $$\frac{x^{2}}{a^{2}}\leq1 , \frac{y^{2}}{b^{2}}\leq1$$, ossia

$$\left\vert \begin{array}{c} \displaystyle\frac{x}{a} \end{array} \right\vert\leq1$$

$$\left\vert \begin{array}{c} \displaystyle\frac{y}{b} \end{array} \right\vert\leq1$$

inoltre

$$\left( \displaystyle\frac{x}{a} \right)^{2} + \left( \displaystyle\frac{y}{b} \right)^{2} =1$$

e quindi possiamo scrivere

$$\left\{ \begin{array}{rl} \displaystyle \frac{x}{a}=\cos ... ...& \mbox{cioè} \,\,\,\,\, y=b\sin\theta \end{array} \right.$$

Consideriamo ora un sistema di assi cartesiani $(O,x,y)$, e due circonferenze con centro nell'origine e di raggio $a$ e $b$ rispettivamente.
Prendiamo una retta per l'origine che formi un angolo $\theta$ con l'asse $x$.
Tale retta incontrerà la circonferenza di raggio $a$ in un punto $P_{1}$ di ascissa $x_{1}=a\cos\theta$ e la circonferenza di raggio $b$ in un punto $P_{2}$ di ordinata $x_{2}=b\sin\theta$. Il punto $P(x_{1},x_{2})$ di ascissa $a\cos\theta$ e di ordinata $b\sin\theta$ appartiene all'ellisse. L'angolo $\theta$ si suole chiamare anomalia eccentrica di $P$.

Figura: Grafico ellisse con uso di riga e compasso.

Questo ci fornisce un metodo per disegnare un'ellisse con l'uso di riga e compasso. Tracciamo prima due circonferenze con centro nell'origine e raggi rispettivamente $a, b$ poi una retta per l'origine. Dai punti di intersezione della retta con le due circonferenze, si conducano rispettivamente la parallela all'asse $x$ e la parallela all'asse $y$. Un punto dell'ellisse sarà determinato dal loro punto di intersezione.

Osservazione 1   Ponendo $t=\tan(\varphi/2)$ e sostituendola all'equazione parametrica otteniamo una rappresentazione dell'ellisse:

$$\mathcal{C}: \left\{ \begin{array}{rl} x=a\displayst... ... y=b\displaystyle\frac{2t}{t^{2}+1} \end{array} \right.$$

Tali equazioni esprimono le coordinate dei punti di $\mathcal{C}$ tramite funzioni razionali del parametro $t$. Pertanto l'ellisse è detta essere una curva razionale.

Esempio 1   L'ellisse $$\frac{(x-4)^{2}}{12}+\frac{(y-3)^{2}}{36}=1$$ ha le seguenti equazioni parametriche

$$\mathcal{C}: \left\{ \begin{array}{rl} (x-4)=2\sqrt{3}\cos\theta\\ (y-3)=6\sin\theta \end{array} \right.$$

cioè

$$\mathcal{C}: \left\{ \begin{array}{rl} x=4+2\sqrt{3}\cos\theta\\ y=3+6\sin\theta \end{array} \right.$$

inoltre

$$\mathcal{C}: \left\{ \begin{array}{rl} \displaystyle... ...displaystyle y=3+6\frac{2t}{t^{2}+1} \end{array} \right.$$