Ellisse come luogo geometrico 1.

Proposizione 1   L'ellisse è il luogo dei punti del piano le cui distanze dai due fuochi hanno somma costante, uguale a $2a$ (dove a rappresenta il semiasse maggiore).
Dimostrazione: Denotiamo con $F$, $F'$ rispettivamente, i due fuochi. Fissiamo un sistema cartesiano $(O,x,y)$ tale che l'asse $x$ passi per $F$ e $F'$. Allora i due fuochi avranno coordinate $(\pm c,0)$. Il punto $P=(x,y)$ verifica la condizione $d(P,F)+d(P,F')=2a$ se e solo se $\displaystyle\sqrt{(x+c)^{2}+y^{2}}+\sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}}=2a$; spostando la seconda radice al secondo membro, e elevando due volte al quadrato, otteniamo:

\begin{displaymath} \sqrt{(x+c)^{2}+y^{2}}=2a- \sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}} \end{displaymath}


\begin{displaymath} (x+c)^{2}-(x-c)^{2}=4a^{2}-4a\sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}} \end{displaymath}


\begin{displaymath} x^{2}+c^{2}+2xc-x^{2}-c^{2}+2xc-4a^{2}=-4a\sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}} \end{displaymath}


\begin{displaymath} 16(xc-a^{2})^{2}=16a^{2}[(x-c)^{2}+y^{2}] \end{displaymath}


\begin{displaymath} x^{2}(a^{2}-c^{2})+a^{2}y^{2}=a^{2}(a^{2}-c^{2}) \end{displaymath}

si arriva poi all'identità

\begin{displaymath} \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{(a^{2}-c^{2})}=1 \end{displaymath}

la quale rappresenta, posto $b^{2}=a^{2}-c^{2}$, l'equazione canonica dell'ellisse.

Figura: Ciascun punto P è alla stessa distanza rispetto ai fuochi
\includegraphics[width=9cm,height=7.5cm]{e-luogogeom}

Esempio 1   Dati $F=(0,3),F'=(0,-3)$ trovare il luogo dei punti $P$ tali che $d(P,F)+d(P,F')=12$
Soluzione: $P=(x,y)$. Ellisse con fuochi $F$, $F'$ sull'asse $y$, asse maggiore di lunghezza 4.
$\mathcal{C:}\displaystyle\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ allora $b=6$, $a^{2}=b^{2}-c^{2}=36-9=27$; sostituendo si ha $\displaystyle\frac{x^{2}}{27}+\frac{x^{2}}{36}=1$ e quindi il luogo cercato.

Esempio 2   Trovare l'equazione dell'ellisse che ha fuochi $F=(\sqrt 7,0)$, $F'=(-\sqrt 7,0)$ e semiasse maggiore uguale a $8$.
Soluzione:Dalla proposizione sappiamo che l'ellisse è il luogo dei punti tali che $d(P,F)+d(P,F')=16$. Allora

\begin{displaymath} \sqrt{(x-\sqrt 7)^{2}+(y)^{2}}+ \sqrt{(x+\sqrt 7 )^{2}+(y)^{2}}=16 \end{displaymath}

calcolando otteniamo

\begin{displaymath} \frac{x^{2}}{64}+\frac{y^{2}}{57}=1 \vspace{2mm} \end{displaymath}

Ellisse come luogo geometrico 2.

Proposizione 2   L'ellisse è il luogo dei punti del piano le cui distanze da un fuoco e dalla relativa direttrice hanno rapporto costante uguale ad $e$ ($e$ si dice eccentricità della conica).

Dimostrazione: Consideriamo $F=(c,0)$ il fuoco, $\displaystyle x=\pm \frac{a}{e}$ la direttrice. Per un punto $P(x,y)$ la condizione è che

\begin{displaymath} \frac{d(P,F)}{d(P,d)}=e \end{displaymath}

cioè

\begin{displaymath} \frac{\sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}}}{ \displaystyle x-\frac{a}{e}}=e \end{displaymath}


\begin{displaymath} (x-c)^{2}+y^{2}=(ex-a)^{2} \end{displaymath}


\begin{displaymath} x^{2}(1-e^{2})+y^{2}=a^{2}-c^{2}+2cx-2eax \end{displaymath}


\begin{displaymath} x^{2}(1-e^{2})+y^{2}=2(c-ea)x+a^{2}-c^{2} \end{displaymath}

ponendo $\displaystyle e=\frac{c}{a}$, $b^{2}=a^{2}-c^{2}$, otteniamo l'equazione canonica di un'ellisse. L'altro caso cioè quello in cui si considerano $F=(-c,0)$ il fuoco, $x=-\displaystyle\frac{a}{e}$ la direttrice si vede in modo analogo.