Osservazione 3
L'equazione $\displaystyle\frac{(x-c)^{2}}{a^{2}}+\frac{(y-d)^{2}}{b^{2}}=1$ è ancora un'ellisse, tuttavia essa è di centro C=(c,d) e le rette $X=c, Y=d$ sono i suoi assi di simmetria.
L'equazione si riduce in forma canonica con la traslazione
\begin{displaymath} \left \{ \begin{array}{l} x=X-c\\ \, y=Y-d\\ \end{array} \right. \end{displaymath}
 

 
Esempio 3
Trovare centro ed assi dell' ellisse $\displaystyle \mathcal{C}:x^2+8y^2-2x+16y=0$.
Soluzione:Basta riscrivere l'equazione nel modo seguente (metodo del completamento dei quadrati):

\begin{displaymath} (x^{2}-2x+1)+8y^{2}+16y-1=0 \end{displaymath}

\begin{displaymath} (x-1)^{2}+8y^{2}+16y+8-8-1=0 \end{displaymath}

\begin{displaymath} {(x-1)}^{2}+8(y^{2}+2y+1)=9 \end{displaymath}

\begin{displaymath} (x-1)^{2}+\frac{(y+1)^{2}}{\left(\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{2}} \right)^{2}}=9 \end{displaymath}

cioè:
\begin{displaymath} \frac{(X-1)^{2}}{(3)^{2}}+\frac{(Y+1)^{2}}{\left( \displaystyle \frac{3}{2\sqrt{2}} \right)^{2}}=1. \end{displaymath}

La curva in questione è un'ellisse. Da qui il centro è in $C=(-1,1)$ e i semiassi sono le rette $X=-1$, $Y=1$;
le lunghezze dei semiassi sono rispettivamente $a=3$, $b=\displaystyle\frac{3}{2\sqrt{2}}$;
$a>b$ dunque i fuochi stanno sull'asse orizzontale.
La traslazione

\begin{displaymath} \left \{ \begin{array}{l} x=X-1\\ y=Y+1\\ \end{array} \right. \end{displaymath}
 

trasforma l'equazione nella seguente:

\begin{displaymath} \frac{X^{2}}{(3)^{2}}+\frac{Y^{2}}{\left(\displaystyle\frac{3}{2\sqrt{2}}\right)^{2}}=1, \end{displaymath}

ossia
\begin{displaymath} \displaystyle\frac{X^{2}}{9}+\frac{Y^{2}}{\displaystyle\frac{9}{8}}=1. \end{displaymath}