Esempio 1
Trovare l'ellisse $\mathcal{C}$ di centro $O$, avente semiassi $a=4$ e $b=5$ e con l'asse maggiore sull'asse delle $x$. Trovare poi i fuochi dell'ellisse.
Soluzione: Si ha $\displaystyle\mathcal{C}:\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{16}= 1$
$\displaystyle c=\sqrt{a^{2}-b^{2}}=\sqrt{25-16}=\pm3$ allora
$F=(\pm3,0)$.


Esempio 2
Sia data la conica $\mathcal{C}$ di equazione: $3x^{2}+9y^{2}= 27$. Ridurla in forma canonica e trovarne fuochi e vertici.

Soluzione: Dividendo l'equazione per $27$ si ha:

\begin{displaymath} \frac{x^{2}}{3^{2}}+\frac{y^{2}}{(\sqrt{3})^{2}}= 1 \end{displaymath}

Da qui si ricava che i semiassi sono $a=3, b=\sqrt{3}$; i vertici sono allora $(3,0),(-3,0)$, $(\sqrt{3},0),(-\sqrt{3},0)$.
Segue che

\begin{displaymath} c=\sqrt{a^{2}-b^{2}}=\sqrt{9-3}=\pm\sqrt{6} \end{displaymath}

con $a>b$, e i fuochi sono sull'asse delle $x$, $F=(\sqrt{6},0),F'=(-\sqrt{6},0)$.