Ogni conica $\mathcal C$ di $\mathbf A^2(\mathbf R)$ è affinemente equivalente a una delle seguenti:

$$\begin{array}{ll} X^2+Y^2-1=0\qquad \qquad & \qquad \texti... ...ad \textit{coppia di rette reali coincidenti}\\ \end{array}$$

La dimostrazione è la stessa che nel caso metrico, solo che nel caso affine possiamo eliminare i parametri a, b, p con ulteriori cambiamenti di coordinate affini (non ortonormali). Ad esempio: per l'ellisse reale o immaginaria prendiamo $x=\displaystyle \frac{1}{a}X$, $y=\displaystyle\frac{1}{b}Y$;
per la parabola prendiamo $x=X$, $y=2pY$;
per le coniche degeneri come le rette distinte ed incidenti in un punto prendiamo $x=aX, y=Y$;
per le coppie di rette parallele prendiamo $x=\displaystyle\frac{1}{a}X, y=Y$.

Osservazione 1   Come si vede dal teorema le possibili forme canoniche affini per una conica sono solo nove, quindi sono in numero finito. Ogni conica è affinemente equivalente ad una di queste nove. La situazione è diversa nel caso euclideo; ognuna delle nove forme canoniche euclidee elencate nel teorema 1 (eccetto l'ultima) da luogo a infinite coniche non congruenti tra loro, dipende a seconda della scelta dei coefficienti che compaiono nell'equazione. Esistono perciò infinite classi di congruenza diverse di coniche euclidee.