Dalla () si vede che: con la trasformazione () dalla matrice $\mathrm A$ associata al polinomio () abbiamo ottenuto una nuova matrice

$$\mathrm B=\mathrm{\widetilde{P}}^t\mathrm A\mathrm{\widetilde{P} }$$

congruente ad $\mathrm A$, con

$$\widetilde{P}=\left( \begin{tabular}{ccc} & \multicolumn... ...$P$} &$\delta$ \\ 0\quad\,0&1 \\ \end{tabular} \right)$$

.
Inoltre dalla () abbiamo ottenuto una matrice

$$\mathrm B_0=\mathrm{P}^t\mathrm A_0\mathrm{P}$$

congruente ad $\mathrm A_0$


. Abbiamo ora informazioni sufficienti per dare una prima classificazione delle coniche. Dalla () si vede che $\mathrm B$ e $\mathrm A$ hanno lo stesso rango (perchè $\widetilde{P}$ invertibile), quindi il rango di $\mathrm A$ è una proprietà affine della conica $\mathcal C$, che chiameremo il rango di $\mathcal C$, e si denota con $r(\mathcal C)$.

Definizione 1   La conica $\mathcal C$ è

• non degenere        se $r(\mathcal C)=3$
• degenere                se $r(\mathcal C)<3$
  • semplicemente degenere        se $r(\mathcal C)=2$
  • doppiamente degenere        se $r(\mathcal C)=1.$

Dalla () si vede anche che $\mathrm A_0$ e $\mathrm B_0$ hanno lo stesso rango e quindi il rango di $\mathrm A_0$ è una proprietà affine di $\mathcal C$. Inoltre poichè

$$det(\mathrm P)=det(\mathrm {P^t})$$

, per il teorema di Binet risulta

$$det (\mathrm B_0)=det(\mathrm {P^tA_0P})=det(\mathrm {P^t})det(\mathrm A_0)det(\mathrm P)$$

e quindi la formula () implica che il segno di $det(\mathrm A_0)$ è lo stesso di quello di $det(\mathrm B_0)$, e quindi anche $det(\mathrm A_0)>0$ e $det(\mathrm A_0)<0$ sono proprietà affini di $\mathcal C$.


Diamo ora il procedimento generale di riduzione a forma canonica affine e metrica di una conica. Procederemo in diversi passi.