\documentclass[a4paper,11pt]{report}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage[italian]{babel}
\usepackage{graphicx}

\newtheorem{prop}{Proposizione}
\newtheorem{defin}{Definizione}
\newtheorem{oss}{Osservazione}
\newtheorem{ese}{Esempio}


\begin{document}


Ogni conica $\mathcal C$ di $\mathbf A^2(\mathbf R)$ è affinemente
equivalente a una delle seguenti:
$$
\begin{array}{ll}
X^2+Y^2-1=0\qquad  \qquad & \qquad \textit{ellisse}\\
\,               &  \, \\
X^2-Y^2-1=0\qquad  \qquad & \qquad \textit{iperbole}\\
\,               &  \, \\
X^2+Y^2+1=0\quad \qquad & \qquad \textit{ellisse immaginaria}\\
\,               &  \, \\
Y^2-X^2=0\qquad   \qquad & \qquad \textit{coppia di rette reali incidenti in un punto}\\
\,               &  \, \\
Y^2+X^2=0\qquad  \qquad & \qquad \textit{coppia di rette complesse e coniugate}\\
\,                          \qquad & \qquad              \textit{incidenti in un punto}\\
\,               &  \, \\
X^2-Y=0 \qquad   \qquad & \qquad \textit{parabola}\\
\,              &  \,\\
X^2-1=0 \qquad \,\,\,\, & \qquad \textit{coppia di rette parallele e distinte}\\
\,               &  \, \\
X^2+1=0 \qquad \,\,\,\,  \qquad &  \qquad \textit{coppia di rette complesse e coniugate}\\
\,               &  \, \\
X^2=0     \qquad & \qquad \textit{coppia di rette reali  coincidenti}\\
\end{array}
$$
La dimostrazione è la stessa che nel caso metrico, solo che nel
caso affine possiamo eliminare i parametri a, b, p con ulteriori
cambiamenti di coordinate affini (non ortonormali). Ad esempio:
per l'ellisse reale o immaginaria prendiamo $x=\displaystyle
\frac{1}{a}X$,
$y=\displaystyle\frac{1}{b}Y$;\\
per la parabola prendiamo $x=X$, $y=2pY$;\\
per le coniche degeneri come le rette distinte ed incidenti in un
punto prendiamo $x=aX, y=Y$;\\
per le coppie di rette parallele prendiamo
$x=\displaystyle\frac{1}{a}X, y=Y$.


\begin{oss}
Come si vede dal teorema le possibili forme canoniche affini per una
conica sono solo nove, quindi sono in numero finito. Ogni conica è
affinemente equivalente ad una di queste nove. La situazione è diversa
nel caso euclideo; ognuna delle nove forme canoniche euclidee elencate
nel teorema 1 (eccetto l'ultima) da luogo a infinite coniche non
congruenti tra loro, dipende a seconda della scelta dei coefficienti
che compaiono nell'equazione. Esistono perciò infinite classi
di congruenza diverse di coniche euclidee.
\end{oss}

\end{document}
