\documentclass[a4paper,11pt]{report}
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\usepackage{graphicx}

\newtheorem{prop}{Proposizione}
\newtheorem{defin}{Definizione}
\newtheorem{oss}{Osservazione}
\newtheorem{ese}{Esempio}


\begin{document}

 Dalla (\ref{ptap}) si vede che: con la trasformazione
(\ref{sostituzione}) dalla matrice $\mathrm A$ associata al
polinomio (\ref{conicagen}) abbiamo ottenuto una nuova matrice
$$
\mathrm B=\mathrm{\widetilde{P}}^t\mathrm
A\mathrm{\widetilde{P}
}$$ \textit{congruente} ad $\mathrm A$, con
$$
\widetilde{P}=\left(
\begin{tabular}{ccc}
        & \multicolumn{2}{c}{$\gamma$}\\
\raisebox{1.5ex}[0cm][0cm]{$P$}
         &$\delta$          \\
0\quad\,0&1                 \\
\end{tabular}
\right)
$$.\vspace{2mm} Inoltre dalla (\ref{pta0p}) abbiamo ottenuto
una matrice$$\mathrm B_0=\mathrm{P}^t\mathrm A_0\mathrm{P}$$
\textit{congruente} ad $\mathrm A_0$ \vspace{1cm}.

Abbiamo ora informazioni sufficienti per dare una prima
classificazione delle coniche. Dalla (\ref{ptap}) si vede che
$\mathrm B$ e $\mathrm A$ hanno lo stesso rango (perchè
$\widetilde{P}$ invertibile), quindi \textit{il rango di $\mathrm
A$ è una proprietà affine della conica $\mathcal C$}, che
chiameremo \textit{il rango di $\mathcal C$}, e si denota con
$r(\mathcal C)$.
\begin{defin}
La conica $\mathcal C$ è
\begin{itemize}
\item \textit{non degenere}\qquad se $r(\mathcal C)=3$
\item \textit{degenere}\qquad \qquad se $r(\mathcal C)<3$
\begin{itemize}
\item \textit{semplicemente degenere}\qquad se $r(\mathcal C)=2$
\item \textit{doppiamente degenere}\qquad \,\,\,\,\,se $r(\mathcal C)=1.$
\end{itemize}
\end{itemize}
\end{defin}

Dalla (\ref{pta0p}) si vede anche che $\mathrm A_0$ e $\mathrm
B_0$ hanno lo stesso rango e quindi \textit{il rango di $\mathrm
A_0$ è una proprietà affine di $\mathcal C$.} Inoltre poichè
$$det(\mathrm P)=det(\mathrm {P^t})$$ , per il teorema di Binet
risulta$$det (\mathrm B_0)=det(\mathrm {P^tA_0P})=det(\mathrm
{P^t})det(\mathrm A_0)det(\mathrm P)$$ e quindi la formula
(\ref{pta0p}) implica che il segno di $det(\mathrm A_0)$ è lo
stesso di quello di $det(\mathrm B_0)$, e quindi anche
$det(\mathrm A_0)>0$ e $det(\mathrm A_0)<0$ \textit{sono proprietà
affini di $\mathcal
C$.} \vspace{6mm}\\

Diamo ora il procedimento generale di riduzione a forma canonica
affine e metrica di una conica.
Procederemo in diversi passi.\vspace{4mm}\\
\end{document}
