\documentclass[a4paper,11pt]{report}
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\newtheorem{prop}{Proposizione}
\newtheorem{defin}{Definizione}
\newtheorem{oss}{Osservazione}
\newtheorem{ese}{Esempio}


\begin{document}


\section[Riduzione a forma canonica]{Riduzione delle coniche a forma canonica}

Consideriamo $\mathbf A^2(\mathbf R)$,  $\mathbf E^2(\mathbf R)$
rispettivamente il \textit{piano affine reale}, il \textit{piano
euclideo reale} in cui sono fissati dei riferimenti di coordinate
$X, Y$. Riprendiamo la definizione di conica:
\begin{defin}
Una conica $\mathcal C$ è il luogo dei punti del piano la cui
equazione è della forma:
\begin{equation}
\label{conicagen}
a_{11}x^2+a_{22}y^2+2a_{12}xy+2a_{13}x+2a_{23}y+a_{33}=0
\end{equation}
dove $a_{ij}\in \mathbf R$ e $a_{11}$, $a_{22}$, $a_{12}$ non sono
contemporaneamente tutti nulli.
\end{defin}

Poniamo ora $a_{12}=a_{12}$, $a_{13}=a_{31}$, $a_{23}=a_{32}$ e
consideriamo le seguenti matrici simmetriche reali
$$
\mathrm A=\left(
\begin{array}{ccc}
a_{11} & a_{12} & a_{13}\\
a_{12} & a_{22} & a_{23}\\
a_{13} & a_{23} & a_{33}
\end{array}
\right) \qquad \textit{matrice associata alla conica}
$$
\vspace{3mm}
$$
\hspace{5mm}\mathrm A_0=\left(
\begin{array}{cc}
a_{11} & a_{12}\\
a_{12} & a_{22}
\end{array}
\right) \qquad \textit{matrice dei termini di secondo grado}.
$$
Si noti che $\mathrm A_0$ è la matrice della forma quadratica\\
$q(x,y)=a_{11}x^2+2a_{12}xy+a_{22}y^2$.

Questo ci permette di rappresentare l'equazione (\ref{conicagen})
in forma matriciale scrivendo:
\begin{equation}
\label{conicamatr} \left(
\begin{array}{ccc}
x & y & 1 \\
\end{array}
\right) \mathrm A \left(
\begin{array}{c}
 x \\ y \\ 1
\end{array}
\right)=0.
\end{equation}
Anche il complesso dei termini di secondo grado può essere scritto
mediante il prodotto di matrici, ossia:
\begin{equation}
\label{formaquadratica} q(x,y)=\left(
\begin{array}{cc}
x & y
\end{array}
\right) \mathrm A_{0} \left(
\begin{array}{c}
x\\ y
\end{array}
\right).
\end{equation}

\end{document}
