\documentclass[a4paper,11pt]{report}
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\newtheorem{prop}{Proposizione}
\newtheorem{defin}{Definizione}
\newtheorem{oss}{Osservazione}
\newtheorem{ese}{Esempio}


\begin{document}

PASSO II \vspace{2mm}\\
Consideriamo la seguente traslazione
$$
\left\{
\begin{array}{c}
x'=X-a\\
y'=Y-b
\end{array}
\right.
$$
ed applichiamola alla (\ref{passo1}). Avremo allora:
\begin{equation}
\label{passo2}
\lambda_1X^2+\lambda_2Y^2+2(b_{13}-\lambda_1a)X+2(b_{23}-\lambda_2b)Y+d=0
\end{equation}
dove:
\begin{equation}
\label{passo2bis}
d=\lambda_1a^2+\lambda_2b^2-2b_{13}a-2b_{23}b+b_{33}.
\end{equation}
Distinguiamo ora tre casi:
\begin{itemize}
\item Se $\lambda_1$ e $\lambda_2$ entrambi diversi da zero, possiamo prendere
$a=\displaystyle\frac{b_{13}}{\lambda_1}$,\\
$b=\displaystyle\frac{b_{23}}{\lambda_2}$, e avremo l'equazione:
\begin{equation}
\label{ellisse} \lambda_1X^2+\lambda_2Y^2+c=0
\end{equation}
dove $c$ è ottenuto sostituendo $a$ e $b$ nella (\ref{passo2bis}).
\item Se $\lambda_2=0$ ($\lambda_1\neq 0$), possiamo prendere
$a=\displaystyle\frac{b_{13}}{\lambda_1}$ e sostituirlo in
(\ref{passo2}). Il coefficiente della X allora si annullerà e
dalla (\ref{passo2bis}) avremo che\\
$d=-\displaystyle\frac{b^2_{13}}{\lambda_1}-2b_{23}b+b_{33}$. Ora:
\begin{itemize}
\item Se $b_{23}\neq 0$ prendiamo $b$ in modo che d=0 e
otteniamo:
\begin{equation}
\label{parabola} \lambda_1X^2+2b_{23}Y=0
\end{equation}
\item Se $b_{23}=0$, d non dipende da b e quindi
possiamo prendere $b=0$ e la (\ref{passo2}) diventa:
\begin{equation}
\label{degenere} \lambda_1X^2+d=0
\end{equation}
\end{itemize}
\item Se $\lambda_1=0$ e $\lambda_2\neq 0$ basta scambiare X con Y e si
procederà allo stesso modo.
\end{itemize}
Abbiamo ora un numero sufficiente di informazioni per una
classificazione metrica e affine delle coniche.\vspace{3mm}


\end{document}
