\documentclass[a4paper,11pt]{report}
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\newtheorem{prop}{Proposizione}
\newtheorem{defin}{Definizione}
\newtheorem{oss}{Osservazione}
\newtheorem{ese}{Esempio}


\begin{document}


PASSO I.\vspace{2mm}\\
Il teorema spettrale ci assicura, che data una matrice $\mathrm A$
simmetrica reale, che definisce sia una forma quadratica che un
endomorfismo diagonalizzabile, esiste una matrice diagonalizzabile
$\mathrm M$ tale $\mathrm M^{-1}\mathrm A\mathrm M=\mathrm
M^t\mathrm A\mathrm M$ è diagonale. Quindi è possibile trovare una
matrice $\mathrm M_0$ ortogonale tale che la trasformazione
lineare:
\begin{equation}
\label{passo1sost} \left(
\begin{array}{c}
x\\y
\end{array}
\right)=\mathrm M_0 \left(
\begin{array}{c}
x'\\y'
\end{array}
\right)
\end{equation}
riduca la forma quadratica (\ref{formaquadratica}) nella forma
$q(x',y')=\lambda_{1}(x')^2+\lambda_2(y')^2$ dove $\lambda_1$ e
$\lambda_2$ non sono simultaneamente nulli. La matrice associata
alla forma è
$$
\mathrm M_0^tA_0M_0= \left(
\begin{array}{cc}
\lambda_1 & 0\\
0 & \lambda_2
\end{array}
\right),
$$
$\lambda_1$ e $\lambda_2$ autovalori di $\mathrm{A_0}$.
Secondo quanto visto in (\ref{passo1sost}) possiamo scrivere anche
\begin{equation}
 \left(
\begin{array}{c}
x\\y\\1
\end{array}
\right)=\left(
\begin{tabular}{ccc}
        & \multicolumn{2}{c}{0}\\
\raisebox{1.5ex}[0cm][0cm]{$\mathrm M_0$}
         & 0                    \\
0\quad\,0 & 1   \\
\end{tabular}
 \right)
 \left(
\begin{array}{c}
x'\\y'\\1
\end{array}
\right)
\end{equation}
che applicata in (\ref{conicamatr}) ci da:
$$
\left(
\begin{array}{ccc}
x' & y' & 1
\end{array}
\right) \left(
\begin{tabular}{ccc}
        & \multicolumn{2}{c}{$b_{13}$}\\
\raisebox{1.5ex}[0cm][0cm]{$M_0^tA_0M_0$}
         &$b_{23}$                    \\
$b_{13}$\quad\,$b_{23}$ & $b_{33}$   \\
\end{tabular}
 \right)
 \left(
\begin{array}{c}
x'\\y'\\1
\end{array}
\right)=
$$
\begin{equation}
\label{passo1}
=\lambda_1(x')^2+\lambda_2(y')^2+2b_{13}x'+2b_{23}y'+b_{33}=0.
\vspace{4mm}
\end{equation}

\end{document}
