\documentclass[a4paper,11pt]{report}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage[italian]{babel}
\usepackage{graphicx}

\newtheorem{prop}{Proposizione}
\newtheorem{defin}{Definizione}
\newtheorem{oss}{Osservazione}
\newtheorem{ese}{Esempio}


\begin{document}

\begin{ese}
In $\mathbf R^2$ classificare la conica di
equazione \\
$x^2+6xy+y^2+2x+y+\displaystyle\frac{1}{2}=0$.\\
\textbf{Soluzione}: La parte quadratica dell'equazione è
$q(x,y)=x^2+6xy+y^2$ e la sua matrice associata è $\mathcal
A=\left(
\begin{array}{lr}
 1 & 3\\
 3 & 1
\end{array}
\right)$.\\
$p_\mathcal A(\lambda)=\lambda^2-2\lambda-8$ è il polinomio
caratteristico con radici $\lambda_1=4$, $\lambda_2=-2$, allora
$v_1=\displaystyle\frac{1}{\sqrt 2}(1,1)$,
$v_2=\displaystyle\frac{1}{\sqrt 2}(-1,1)$ è una base ortonormale
di autovettori. La matrice del cambiamento di coordinate è $
\mathcal P=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}} \left(
\begin{array}{cr}
1 & -1\\
1 &  1
\end{array}
\right)$, che ci permette di ottenere una forma diagonale di
$\mathcal A$. Consideriamo quindi la seguente trasformazione di
coordinate ortonormali:
$$
\left(
\begin{array}{c}
x\\y
\end{array}
\right)=\mathcal P^t\left(
\begin{array}{c}
\xi\\ \eta
\end{array}
\right)=\left(
\begin{array}{cc}
\vspace{3mm}
\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}\xi-\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}\eta\\
\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}\xi+\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}\eta
\end{array}
\right),
$$essa trasformerà l'equazione data in $4\xi^2-2\eta^2+\displaystyle\frac{3}{\sqrt{2}}\xi-
\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}\eta+\displaystyle\frac{1}{2}=0$.
Vediamo ora come eliminare i termini di $1^\circ$ grado. Facciamo
la traslazione
$$
\left\{
\begin{array}{c}
\xi=X-\alpha\\
\eta=Y-\beta
\end{array}
\right.
$$da cui otteniamo:
$$
4X^2-2Y^2+(\displaystyle\frac{3}{\sqrt{2}}-8\alpha)X+(-\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}+4\beta)Y+
4\alpha^2-2\beta^2-\displaystyle\frac{3}{\sqrt{2}}\alpha+\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}\beta+\frac{1}{2}=0.
$$
Se poniamo \,\, $8\alpha=\displaystyle\frac{3}{\sqrt{2}}$,\,\,
$4\beta=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}$ e facciamo un po' di
calcoli, abbiamo che con la traslazione:
$$
\left\{
\begin{array}{c}
\xi=X-\displaystyle\frac{3\sqrt{2}}{16}\\
\eta=Y-\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{8}
\end{array}
\right.
$$
si ha un ulteriore semplificazione dell'equazione che elimina i
termini di $1^\circ$ grado, infatti otteniamo
$4X^2-2Y^2+\displaystyle\frac{9}{32}=0$ cioè:
$$
\displaystyle\frac{Y^2}{2}-X^2=\displaystyle\frac{9}{128}
$$che è l'equazione di un' iperbole con asse focale l'asse delle Y.

\begin{figure}[htbp]
\begin{center}
   \includegraphics[width=9cm,height=20cm]{es2iperbole.eps}
   \caption[Esempio 2]{Esempio 2. La conica scritta in forma generale è in rosso,
            quella in forma canonica è in verde.}
\end{center}
\end{figure}

\end{ese}

\end{document}
