\documentclass[a4paper,11pt]{report}
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\newtheorem{prop}{Proposizione}
\newtheorem{defin}{Definizione}
\newtheorem{oss}{Osservazione}
\newtheorem{ese}{Esempio}


\begin{document}

\begin{ese}
In $\mathbf R^2$, data la curva di equazione $9x^2+4xy+6y^2=10$,
trovare di che tipo di conica si tratta.\\
\textbf{Soluzione}: Posto $q(x,y)=9x^2+4xy+6y^2$, essa è una forma
quadratica che ha come matrice
$$
\mathcal A= \left(
\begin{array}{lr}
9 & 2\\
2 & 6
\end{array}
\right),
$$
 $q=Q_\mathcal{A}$. Il polinomio caratteristico di $\mathcal A$ è $p_\mathcal
A(\lambda)=\lambda^2-15\lambda+50$ con autovalori $\lambda_1=10,
\lambda_2=5$.

Adesso, poichè \,$(\mathcal A-10\mathcal I)=\left(
\begin{array}{rc}
-1 & 2\\
 2 & 4
\end{array}
\right)$, risolviamo il sistema \\
$(\mathcal A-10\mathcal I)X=0$, con $X\in\mathbf R^2$, e troviamo
che il vettore $(2,1)\in V_{10}$ (dove $V_{10}$ è autospazio
relativo all'autovalore $\lambda_1=10$); normalizziamo, e abbiamo
che $v_1=\displaystyle\frac{1}{\sqrt 5}(2,1)$. Per trovare l'altro
autovettore basterà risolvere il sistema precedente con
$\lambda_2=5$ oppure sfruttare il fatto che $V_5=V_{10}^\bot$, poi
normalizzare, allora $v_2=\displaystyle\frac{1}{\sqrt5}(-1,2)$.

$V=\{v_1, v_2\}$ rappresenta una base ortonormale di autovettori
di $\mathbf R^2$. Consideriamo $(x,y)\in\mathbf R^2$ e $\mathcal
P=\mathcal M_{ev}(id)=\displaystyle\frac{1}{\sqrt5} \left(
\begin{array}{lr}
2 &-1\\
1 & 2
\end{array}
\right)$ la matrice del cambiamento di base dalla base canonica di
$\mathbf R^2$ alla base $V$; siano poi $\xi, \eta$ coordinate di $
\left(
\begin{array}{c}
x\\
y
\end{array}
\right)$ rispetto a $V$. $\mathcal P$ è ortogonale, cioè tale che
$\mathcal P^{-1}=\mathcal P^t$. Quindi $\left(
\begin{array}{c}
x\\
y
\end{array}
\right)=\mathcal P^{-1} \left(
\begin{array}{c}
\xi\\
\eta
\end{array}
\right)=\mathcal P^t \left(
\begin{array}{c}
\xi\\
\eta
\end{array}
\right)=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{5}}\left(
\begin{array}{c}
2\xi+\eta\\
-\xi+2\eta
\end{array}
\right)$; allora la forma quadratica associata sarà:
$$
\displaystyle Q_\mathcal
A(\xi,\eta)=10\xi^2+5\eta^2=10\left(\frac{2x+y}{\sqrt
5}\right)^2+5\left(\frac{-x+2y}{\sqrt5}\right)^2.
$$

Riassumendo, siamo partiti dalla curva di equazione
$9x^2+4xy+6y^2=10$, che rispetto a $V$ è stata ridotta a
$10\xi^2+5\eta^2=10$, cioè $\displaystyle\xi^2+\frac{\eta^2}{2}=1$
che è l'equazione di un ellisse. Inoltre i suoi assi di simmetria
sono $<v_1>, <v_2>$ rette generate dagli autovettori.
\begin{figure}[htbp]
\begin{center}
   \includegraphics[width=5.5cm,height=7cm]{es1assi.ps}
   \caption[Conica e assi di simmetria]{Esempio 1. Le rette generate dagli autovettori
             sono assi di simmetria.}
\end{center}
\end{figure}
\begin{figure}[htbp]
\begin{center}
   \includegraphics[width=6cm,height=17cm]{es1ellisse.eps}
   \caption[Esempio 1]{Esempio 1. La conica scritta in forma generale è in rosso,
            quella in forma canonica è in verde.}
\end{center}
\end{figure}
\end{ese}

\end{document}
