\documentclass[a4paper,11pt]{report}
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\newtheorem{prop}{Proposizione}
\newtheorem{defin}{Definizione}
\newtheorem{oss}{Osservazione}
\newtheorem{ese}{Esempio}


\begin{document}

\textit{Dimostrazione}\\
Consideriamo l'equazione (\ref{ellisse}).

Se $c\neq 0,$ dividiamo(\ref{ellisse}) per c ed abbiamo
$\displaystyle\frac{\lambda_1}{c}X^2+\frac{\lambda_2}{c}Y^2+1=0$.
Poniamo ora $\displaystyle\frac{1}{a^2}=\frac{\lambda_1}{c}$,
$\displaystyle\frac{1}{b^2}=\frac{\lambda_2}{c}$ e distinguiamo
tre casi:
\begin{itemize}
\item Se $\displaystyle\frac{\lambda_1}{c}$ e $\displaystyle\frac{\lambda_2}{c}$ sono entrambi negativi
si ottiene $\displaystyle\frac{X^2}{a^2}+\frac{Y^2}{b^2}-1=0$ che
è l'equazione canonica di un ellisse.
\item Se $\displaystyle\frac{\lambda_1}{c}$ e $\displaystyle\frac{\lambda_2}{c}$
sono di segno opposto si ottiene
$\displaystyle\frac{X^2}{a^2}-\frac{Y^2}{b^2}-1=0$ che è
l'equazione canonica di un iperbole.
\item Se $\displaystyle\frac{\lambda_1}{c}$ e $\displaystyle\frac{\lambda_2}{c}$
sono positivi si ottiene l'equazione
$\displaystyle\frac{X^2}{a^2}+\frac{Y^2}{b^2}+1=0$.\\
Esplicitiamo ora la X, scriviamo cioè $\displaystyle X=\pm
a\sqrt{-1-\frac{Y^2}{b^2}}$, si vede subito che per ogni $Y\in
\mathbf R$, sostituito sotto il segno di radice, otteniamo valori
per X che sono complessi (cioè $X\in \mathbf C$). Stesso risultato
otteniamo se esplicitiamo la Y e vi sostituiamo poi un qualsiasi
valore di X reale. Quindi tale equazione non si rappresenta nel
piano reale, $\mathbf R^2$. I punti che rappresentano l'equazione
trovata sono punti che appartengono al
campo complesso.\\
Da qui il nome di ellisse a punti non reali o ellisse immaginaria.
\end{itemize}

Se $c=0$ si ha l'equazione
$\displaystyle\frac{\lambda_1}{\lambda_2}X^2+Y^2=0.$ Poniamo ora
$\displaystyle a^2=\frac{\lambda_1}{\lambda_2}$ e distinguiamo due
casi:
\begin{itemize}
\item Se $\lambda_1$ e $\lambda_2$ hanno segno opposto la (\ref{ellisse}) diventa $Y^2-a^2X^2=0$.
Se fattorizziamo tale equazione otteniamo $(Y+aX)(Y-aX)=0$; la
conica quindi è data dall'unione delle rette di equazione $Y=\pm
aX$. Abbiamo così l'equazione di due rette reali incidenti in
punto.

\begin{figure}[htbp]
\begin{center}
   \includegraphics[width=7.5cm,height=9cm]{retteincidenti.ps}
   \caption[Rette incidenti]{(Con l'equazione nella forma canonica, il
punto di incidenza delle due rette corrisponde all'origine degli
assi).}
\end{center}
\end{figure}

\end{document}
