\documentclass[a4paper,11pt]{report}
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\newtheorem{prop}{Proposizione}
\newtheorem{defin}{Definizione}
\newtheorem{oss}{Osservazione}
\newtheorem{ese}{Esempio}


\begin{document}

\chapter[Classificazione affine ed euclidea delle coniche]{Classificazione affine ed euclidea delle coniche}

\section[Coniche e diagonalizzazione di forme quadratiche]{Coniche e diagonalizzazione di forme quadratiche}

Sia $\mathcal{A}=(a_{ij})$ una matrice simmetrica a coefficienti
reali $n\times n$,\\
consideriamo ora:\\
\vspace{3mm}
$H_\mathcal{A}:\mathbf{R}^n\times \mathbf{R}^n\rightarrow \mathbf{R}$ la forma bilineare ad essa associata,\\
\vspace{3mm}
$Q_\mathcal{A}:\mathbf{R}^n\rightarrow \mathbf{R}$ la forma quadratica ad essa associata.\\
Per il teorema spettrale, siano
$\lambda_1,\ldots,\lambda_n\in\mathbf{R}$ autovalori di
$\mathcal{A}$ (tutti reali dato che $\mathcal{A}$ è simmetica reale) e $v_1,\ldots,v_n\in\mathbf{R^n}$ una base
ortonormale di autovettori, tali cioè che $\mathcal{A}v_i=\lambda_iv_i$ con $i=1\ldots n$.\\

$\forall \,\,x,y\in\mathbf{R}^n$ si può scrivere
$H_\mathcal{A}(x,y)=x^t\mathcal{A}y=<x,\mathcal{A}y>$; rispetto
alla base di autovettori avremo allora che
$$
H_\mathcal{A}(v_i,v_j)=<v_i,\mathcal{A}v_j>=\lambda_j<v_i,v_j>=
\left \{
\begin{tabular}{lcr}
0 & se & i $\neq j$\\
$\lambda_j$ & se & $i=j$
\end{tabular}
\right.
$$
da cui si vede che la matrice di $H_\mathcal A$ rispetto alla base
$v=(v_1,\ldots,v_n)$, ortonormale, sarà:
$$
{\mathcal D} = \left(
\begin{array}{cccc}
\lambda_1 & 0         & \cdots & 0 \\
0         & \lambda_2 & \cdots & 0 \\
\vdots    & \vdots    &\ddots  &\vdots \\
0         &   0       & \cdots & \lambda_n
\end{array}
\right).
$$
Consideriamo ora $x,y\in \mathbf R^n$, rispetto alla base $v$
possiamo scriverli come: $x=\displaystyle\sum_{i=1}^{n} \xi_iv_i$
\, e \, $y=\displaystyle\sum_{i=1}^{n} \eta_iv_i$, dove
$\xi=(\xi_1,\ldots,\xi_n),\, \eta=(\eta_1,\ldots,\eta_n)\in\mathbf
R^n$ sono le coordinate di $x,y$ rispetto alla base $v$. Se
sostituiamo otteniamo che
\begin{eqnarray*}
H_\mathcal A(x,y)&=& <x,\mathcal Ay>=<\sum_i\xi_iv_i,\mathcal
A\sum_i\eta_iv_i>\\
                 &=&\sum_i<\xi_iv_i,\lambda_iv_i\eta_i>=\sum_i\lambda_i\xi_i\eta_i<v_i,v_j>\\
                 &=&\sum_i\lambda_i\xi_i\eta_i
\end{eqnarray*} che è appunto la forma bilineare espressa rispetto ai
vettori della base ortonormale. Adesso se prendiamo in
considerazione la forma quadratica abbiamo che:
\begin{eqnarray*}
Q_\mathcal A(x) &=&
                  H_\mathcal A(x,x)=x^t\mathcal{A}x=<x,\mathcal{A}x>\\
                &=& \sum_i\lambda_i \xi_i^2
\end{eqnarray*}
che è la \textit{forma quadratica espressa rispetto alla base
ortonormale di autovettori.} Quindi data una forma quadratica
$Q_\mathcal A$, è possibile trovare una base rispetto alla quale
$Q_\mathcal A$ ha espressione più semplice: la matrice che la
rappresenta è \textit{diagonale} e $\lambda_1,\ldots,\lambda_n$
sono gli \textit{autovalori} di $\mathcal A$.

Applichiamo quanto detto sin ora allo studio delle coniche e
facciamo alcuni esempi che illustrano il procedimento di riduzione
a forma canonica di una conica.



\end{document}
