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\newtheorem{prop}{Proposizione}
\newtheorem{defin}{Definizione}
\newtheorem{oss}{Osservazione}
\newtheorem{ese}{Esempio}


\begin{document}

\section[Classificare una conica senza ridurla a forma canonica]{Classificare una conica senza ridurla a forma canonica}

Abbiamo visto fino ad ora che data una conica $\mathcal C$ in
forma generale \`e possibile tramite una successione di
cambiamenti di coordinate ridurla ad una forma molto pi\`u
semplice, la forma canonica.\\
Vogliamo ora mostrare come è possibile riconoscere di che tipo di
conica si tratta senza calcolare i cambiamenti di coordinate.
Notiamo subito che:
\begin{itemize}
\item se $lx^2+my^2=c$ \`e la forma canonica di  $\mathcal C$, con
$l, m\neq 0$ autovalori di $A_0$, allora $detA=-lmc=-det{A_0}c$,
quindi $c=-\displaystyle\frac{detA}{lm}$.
\item se $my^2=2cx$ \`e una forma canonica per $\mathcal C$,
allora $detA_0=0$, con $0, m$ autovalori di $A_0$.\\
$detA=-mc^2$, quindi $c^2=-\displaystyle\frac{det A}{m}$ cioè
$c=\displaystyle\sqrt{-\frac{det A}{m}}$. Il segno di $c$ è
indifferente poichè se per esempio si è scelto $c>0$ basta fare un
cambiamento di coordinate $X=-x, Y=y$ per ottenere $mY^2=-2cX$
cioè $-c$.
\end{itemize}


Facciamo alcuni esempi:


\end{document}
