Esempio 2  

In $\mathbf R^2$ classificare la conica di equazione
$x^2+6xy+y^2+2x+y+\displaystyle\frac{1}{2}=0$.
Soluzione:  La parte quadratica dell'equazione è $q(x,y)=x^2+6xy+y^2$ e la sua matrice associata è $\mathcal A=\left( \begin{array}{lr} 1 & 3\\ 3 & 1 \end{array} \right)$.
$p_\mathcal A(\lambda)=\lambda^2-2\lambda-8$ è il polinomio caratteristico con radici $\lambda_1=4$, $\lambda_2=-2$, allora $v_1=\displaystyle\frac{1}{\sqrt 2}(1,1)$, $v_2=\displaystyle\frac{1}{\sqrt 2}(-1,1)$ è una base ortonormale di autovettori. La matrice del cambiamento di coordinate è $\mathcal P=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}} \left( \begin{array}{cr} 1 & -1\\ 1 & 1 \end{array} \right)$, che ci permette di ottenere una forma diagonale di $\mathcal A$. Consideriamo quindi la seguente trasformazione di coordinate ortonormali:

$$\left( \begin{array}{c} x\\ y \end{array} \right)=\math... ...xi+\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}\eta \end{array} \right),$$

essa trasformerà l'equazione data in $4\xi^2-2\eta^2+\displaystyle\frac{3}{\sqrt{2}}\xi- \displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}\eta+\displaystyle\frac{1}{2}=0$. Vediamo ora come eliminare i termini di $1^\circ$ grado. Facciamo la traslazione

$$\left\{ \begin{array}{c} \xi=X-\alpha\\ \eta=Y-\beta \end{array} \right.$$

da cui otteniamo:

$$4X^2-2Y^2+(\displaystyle\frac{3}{\sqrt{2}}-8\alpha)X+(-\dis... ...2}}\alpha+\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}\beta+\frac{1}{2}=0.$$

 

Se poniamo $8\alpha=\displaystyle\frac{3}{\sqrt{2}}$, $4\beta=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}$ e facciamo un po' di calcoli, abbiamo che con la traslazione:

$$\left\{ \begin{array}{c} \xi=X-\displaystyle\frac{3\sqrt{... ... \eta=Y-\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{8} \end{array} \right.$$

si ha un ulteriore semplificazione dell'equazione che elimina i termini di $1^\circ$ grado, infatti otteniamo $4X^2-2Y^2+\displaystyle\frac{9}{32}=0$ cioè:

$$\displaystyle\frac{Y^2}{2}-X^2=\displaystyle\frac{9}{128}$$

che è l'equazione di un' iperbole con asse focale l'asse delle Y.

Figura: La conica scritta in forma generale è in rosso, quella in forma canonica è in verde.