Esempio 1  

 In $\mathbf R^2$, data la curva di equazione $9x^2+4xy+6y^2=10$, trovare di che tipo di conica si tratta.
Soluzione: Posto $q(x,y)=9x^2+4xy+6y^2$, essa è una forma quadratica che ha come matrice

$$\mathcal A= \left( \begin{array}{lr} 9 & 2\\ 2 & 6 \end{array} \right),$$

$q=Q_\mathcal{A}$. Il polinomio caratteristico di $\mathcal A$ è $p_\mathcal A(\lambda)=\lambda^2-15\lambda+50$ con autovalori $\lambda_1=10, \lambda_2=5$. Adesso, poichè $(\mathcal A-10\mathcal I)=\left( \begin{array}{rc} -1 & 2\\ 2 & 4 \end{array} \right)$, risolviamo il sistema
$(\mathcal A-10\mathcal I)X=0$, con $X\in\mathbf R^2$, e troviamo che il vettore $(2,1)\in V_{10}$ (dove $V_{10}$ è autospazio relativo all'autovalore $\lambda_1=10$); normalizziamo, e abbiamo che $v_1=\displaystyle\frac{1}{\sqrt 5}(2,1)$. Per trovare l'altro autovettore basterà risolvere il sistema precedente con $\lambda_2=5$ oppure sfruttare il fatto che $V_5=V_{10}^\bot$, poi normalizzare, allora $v_2=\displaystyle\frac{1}{\sqrt5}(-1,2)$. $V=\{v_1, v_2\}$ rappresenta una base ortonormale di autovettori di $\mathbf R^2$. Consideriamo $(x,y)\in\mathbf R^2$ e $\mathcal P=\mathcal M_{ev}(id)=\displaystyle\frac{1}{\sqrt5} \left( \begin{array}{lr} 2 &-1\\ 1 & 2 \end{array} \right)$ la matrice del cambiamento di base dalla base canonica di $\mathbf R^2$ alla base $V$; siano poi $\xi, \eta$ coordinate di $\left( \begin{array}{c} x\\ y \end{array} \right)$ rispetto a $V$. $\mathcal P$ è ortogonale, cioè tale che $\mathcal P^{-1}=\mathcal P^t$. Quindi $\left( \begin{array}{c} x\\ y \end{array} \right)=\mathcal P^{-1} \left( ... ...qrt{5}}\left( \begin{array}{c} 2\xi+\eta\\ -\xi+2\eta \end{array} \right)$; allora la forma quadratica associata sarà:

$$\displaystyle Q_\mathcal A(\xi,\eta)=10\xi^2+5\eta^2=10\le... ...x+y}{\sqrt 5}\right)^2+5\left(\frac{-x+2y}{\sqrt5}\right)^2.$$

Riassumendo, siamo partiti dalla curva di equazione $9x^2+4xy+6y^2=10$, che rispetto a $V$ è stata ridotta a $10\xi^2+5\eta^2=10$, cioè $$\xi^2+\frac{\eta^2}{2}=1$$ che è l'equazione di un ellisse. Inoltre i suoi assi di simmetria sono $<v_1>, <v_2>$ rette generate dagli autovettori.

Figura:  Le rette generate dagli autovettori sono assi di simmetria.

Figura:  La conica scritta in forma generale è in rosso, quella in forma canonica è in verde.