In , data la curva di equazione
,
trovare di che tipo di conica si tratta.
Soluzione: Posto
, essa è una forma
quadratica che ha come matrice
. Il polinomio caratteristico di
è
con autovalori
.
Adesso, poichè
, risolviamo il sistema
, con
, e troviamo
che il vettore
(dove
è autospazio
relativo all'autovalore
); normalizziamo, e abbiamo
che
. Per trovare l'altro
autovettore basterà risolvere il sistema precedente con
oppure sfruttare il fatto che
, poi
normalizzare, allora
.
rappresenta una base ortonormale di autovettori
di
. Consideriamo
e
la matrice del cambiamento di base dalla base canonica di
alla base
; siano poi
coordinate di
rispetto a
.
è ortogonale, cioè tale che
. Quindi
; allora la forma quadratica associata sarà: