\documentclass[a4paper,11pt]{report}
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\newtheorem{prop}{Proposizione}
\newtheorem{defin}{Definizione}
\newtheorem{oss}{Osservazione}
\newtheorem{ese}{Esempio}


\begin{document}
\begin{ese}
Sia $\mathcal C:x^2+2xy+y^2-3x-3y+2=0$\\
$$
\mathrm A=\left(
\begin{array}{rcr}
 1 & 1 &-\displaystyle\frac{3}{2}
\vspace{2mm}\\
1 & 1 & -\displaystyle\frac{3}{2}\\
-\displaystyle\frac{3}{2}& -\displaystyle\frac{3}{2} & 2
\end{array}
\right).
$$
$det(A)=0$, degenere.\\
$det(A_0)=lm=0$, quindi un autovalore è nullo, troviamo l'altro.\\
$p_{A_0}(\lambda)=(1-\lambda)^2-1=\lambda(\lambda-2)$, quindi gli 
autovalori sono 0, 2. Il $r(A)$ potrebbe essere $1$ oppure
$2$. Per sciogliere questo dubbio calcoliamoci il polinomio
caratteristico di $A$ e utilizziamo la \textit{regola di
Cartesio}.\\
$p_{A}(\lambda)=(1-\lambda)^2(2-\lambda)-2=-\lambda(\lambda^2+4\lambda-5)$;
il polinomio dentro le parentesi ha radici non nulle in più ha una
variazione di segno; per la regola di Cartesio quindi le sue
radici sono una positiva l'altra negativa. Riassumendo, la conica
in questione è degenere e $A_0$ ha un autovalore nullo, mentre $A$ ha
rango 2 e 
ha due autovalori di segno discorde; allora la matrice che
rappresenta tale conica è del tipo $ \mathrm A=\left(
\begin{array}{rcc}
 0 & 0 & 0 \\
 0 & 1 & 0\\
 0 & 0 & -a^2
\end{array}
\right)$, che rappresenta la conica di equazione canonica $y^2-c=0$ cioè
due rette parallele.
\end{ese}
\begin{oss}
Se gli autovalori di $A$ fossero stati di segno concorde avremmo
avuto $y^2+c=0$ che è l'equazione di due rette complesse e
coniugate.
\end{oss}

\end{document}
