Esempio 1   Sia $\mathcal C:3x^2+2xy+3y^2+2x-2y$

$$\mathrm A=\left( \begin{array}{rrr} 3 & 1 & 1\\ 1 & 3 & -1\\ 1 & -1 & 0 \end{array} \right).$$

$det(A)=-8\neq 0$, non degenere.
$det(A_0)=lm=8>0$.Gli autovalori di $A_0$ sono $4$ e $2$, e $c=1$. Perciò l'equazione della conica è $4x^2+2y^2=1$, e si tratta di un ellisse reale.