Esempio 1   Sia $\mathcal C:x^2+8x-6xy-4y+1$

$$\mathrm A=\left( \begin{array}{rrr} 1 & -3 & 4\\ -3 & 0 & -2\\ 4 & -2 & 1 \end{array} \right).$$

$det(A)=37\neq 0$, non degenere.
$det(A_0)=lm=-9<0$. Quindi i due autovalori hanno segno discorde, inoltre $c=-\displaystyle\frac{detA}{lm}>0$. La rappresentazione della forma canonica sarà quindi del tipo:
$lx^2-my^2=c$ che è l'equazione di un'iperbole. Per trovare la forma canonica euclidea basta calcolare gli autovalori $l, m$ e il coefficiente $c$