Classificare una conica senza ridurla a forma canonica
Abbiamo visto fino ad ora che data una conica 
in
forma generale è possibile tramite una successione di
cambiamenti di coordinate ridurla ad una forma molto più
semplice, la forma canonica.
Vogliamo ora mostrare come è possibile riconoscere di che tipo di
conica si tratta senza calcolare i cambiamenti di coordinate.
Notiamo subito che:
- Se
è la forma canonica di , con
autovalori di 
, allora
,
quindi
.
- Se
è una forma canonica per ,
allora 
, con 
autovalori di .
, quindi
cioè
. Il segno di 
è
indifferente poichè se per esempio si è scelto 
basta fare un
cambiamento di coordinate 
per ottenere 
cioè 
.
Facciamo alcuni esempi:
