Dimostrazione 

L'eccentricità della parabola è $e=1$. Siano $F=(\displaystyle\frac{p}{2},0)$ il fuoco, $\displaystyle
d:x=-\frac{p}{2}$ la direttrice. Per un punto $P(x,y)$ la condizione è che

\begin{displaymath}
\frac{d(P,F)}{d(P,d)}=1
\end{displaymath}
cioè
\begin{displaymath}
d(P,F)=d(P,d)
\end{displaymath}

\begin{displaymath}
\displaystyle\sqrt{(x-\frac{p}{2})^2+y^2}=x+\frac{p}{2}
\end{displaymath}
 
\begin{displaymath}
\displaystyle x^2+(\frac{p}{2})^2-px+y^2=x^2+(\frac{p}{2})^2+px
\end{displaymath}
 
\begin{displaymath}
y^2=2px
\end{displaymath}

che è proprio l'equazione canonica della parabola con asse coincidente con l'asse delle $x$.