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Dimostrazione
Consideriamo l'equazione (
).
Se
dividiamo(
) per c ed abbiamo
.
Poniamo ora
,
e distinguiamo
tre casi:
- Se
e
sono entrambi negativi
si ottiene
che
è l'equazione canonica di un ellisse.
- Se
e
sono di segno opposto si ottiene
che è
l'equazione canonica di un iperbole.
- Se
e
sono positivi si ottiene l'equazione
.
Esplicitiamo ora la X, scriviamo cioè
, si vede subito che per ogni
, sostituito sotto il segno di radice, otteniamo valori
per X che sono complessi (cioè
). Stesso risultato
otteniamo se esplicitiamo la Y e vi sostituiamo poi un qualsiasi
valore di X reale. Quindi tale equazione non si rappresenta nel
piano reale,
. I punti che rappresentano l'equazione
trovata sono punti che appartengono al
campo complesso.
Da qui il nome di ellisse a punti non reali o ellisse immaginaria.
Se
si ha l'equazione
Poniamo ora
e distinguiamo due
casi:
- Se
e
hanno segno opposto la (
) diventa
.
Se fattorizziamo tale equazione otteniamo
; la
conica quindi è data dall'unione delle rette di equazione
. Abbiamo così l'equazione di due rette reali incidenti in
punto.
Figura:
(Con l'equazione nella forma canonica, il
punto di incidenza delle due rette corrisponde all'origine degli
assi).
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Claudio Benizi
2002-10-08