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Equazione polare della Parabola.

Consideriamo una parabola di fuoco $F$, direttrice $d$ ed un punto $P(x,y)$ sulla parabola.
Fissiamo ora un sistema di riferimento $(O,x,y)$ ortonormale in modo che:
- $O\equiv F $, cioè l'origine degli assi coincida con il fuoco.
- l'asse $x$ sia orientato da $O$ verso $d$.
Adesso prendiamo $p>0$ la distanza tra l'origine $O$ e il punto di intersezione tra la direttrice d con l'asse $x$, $\rho$ la lunghezza del vettore $\overrightarrow{OP}$, $\theta$ l'angolo che $\overrightarrow{OP}$ forma con l'asse $x$. Per costruzione quindi $d(P,F)=\rho$ e $d(P,p)=p-\rho\cos\theta.$ Se prima sostituiamo a $\displaystyle\frac{d(P,F)}{d(P,d)}=e$ ed esplicitiamo poi $\rho$ si ottiene:

\begin{displaymath}
\rho=\displaystyle\frac{ep}{1+e\cos\theta}\\
p>0
\end{displaymath}

Poichè $e=1$, allora

\begin{displaymath}
\rho=\displaystyle\frac{p}{1+\cos\theta}\\
p>0.
\end{displaymath}

Tale equazione si chiama equazione polare della parabola.

Rappresentazione parametrica della Parabola

La parabola si può rappresentare parametricamente così:

\begin{displaymath}
\left \{
\begin{array}{c}
x=t\\
\displaystyle y=\frac{1}{2p}t^2
\end{array}
\right.
\end{displaymath}

Da qui si vede che la parabola è una curva razionale come le altre coniche.

Esempio 1   Trovare la parabola $\mathcal{C}$ con l'asse parallelo all'asse delle $y$ e passante per i punti $O=(0,0), P(1,2), Q(-1,1)$.
Soluzione. $\mathcal{C}$ ha equazione $y=ax^{2}+by+c.$ Sostituendo le coordinate di $O,P,Q$ nell'equazione si trovano le relazioni $c=0, 2=a+b, 1=a-b$, da cui $a=\displaystyle\frac{3}{2}$, $b=\displaystyle\frac{1}{2}$, $c=0$. La parabola cercata è dunque

\begin{displaymath}
\mathcal{C}:y=(\frac{3}{2})x^{2}+(\frac{1}{2})x.
\end{displaymath}





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Claudio Benizi 2002-09-26