Dimostrazione:
Consideriamo $F=(c,0)$ il fuoco, $\displaystyle x=\pm \frac{a}{e}$ la direttrice. Per un punto $P(x,y)$ la condizione č che

\begin{displaymath}
\frac{d(P,F)}{d(P,d)}=e
\end{displaymath}
 


cioč

\begin{displaymath}
\frac{\sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}}}{ \displaystyle x-\frac{a}{e}}=e
\end{displaymath}

\begin{displaymath}
(x-c)^{2}+y^{2}=(ex-a)^{2}
\end{displaymath}

\begin{displaymath}
x^{2}(1-e^{2})+y^{2}=a^{2}-c^{2}+2cx-2eax
\end{displaymath}

\begin{displaymath}
x^{2}(1-e^{2})+y^{2}=2(c-ea)x+a^{2}-c^{2}
\end{displaymath}

ponendo $\displaystyle e=\frac{c}{a}$, $b^{2}=a^{2}-c^{2}$, otteniamo l'equazione canonica di un'ellisse. L'altro caso cioč quello in cui si considerano $F=(-c,0)$ il fuoco, $x=-\displaystyle\frac{a}{e}$ la direttrice si vede in modo analogo.