Esempio 5   

Sia $\mathcal C:x^2+2xy+y^2-3x-3y+2=0$

\begin{displaymath}
\mathrm A=\left(
\begin{array}{rcr}
1 & 1 &-\displaystyl...
...c{3}{2}& -\displaystyle\frac{3}{2} & 2
\end{array}
\right).
\end{displaymath}
$det(A)=0$, degenere.
$det(A_0)=lm=0$, quindi un autovalore è nullo, troviamo l'altro.
$p_{A_0}(\lambda)=(1-\lambda)^2-1=\lambda(\lambda-2)$, quindi gli autovalori sono 0, 2. Il $r(A)$ potrebbe essere $1$ oppure $2$. Per sciogliere questo dubbio calcoliamoci il polinomio caratteristico di $A$ e utilizziamo la Regola di Cartesio.
$p_{A}(\lambda)=(1-\lambda)^2(2-\lambda)-2=-\lambda(\lambda^2+4\lambda-5)$; il polinomio dentro le parentesi ha radici non nulle in più ha una variazione di segno; per la regola di Cartesio quindi le sue radici sono una positiva l'altra negativa. Riassumendo, la conica in questione è degenere e $A_0$ ha un autovalore nullo, mentre $A$ ha rango 2 e ha due autovalori di segno discorde; allora la matrice che rappresenta tale conica è del tipo $ \mathrm A=\left(
\begin{array}{rcc}
0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & -a^2
\end{array}
\right)$, che rappresenta la conica di equazione canonica $y^2-c=0$ cioè due rette parallele.

Osservazione  

 Se gli autovalori di $A$ fossero stati di segno concorde avremmo avuto $y^2+c=0$ che è l'equazione di due rette complesse e coniugate.