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La parabola come luogo geometrico.

Proposizione 1   La parabola è il luogo dei punti del piano le cui distanze da un fuoco e dalla relativa direttrice hanno rapporto costante uguale ad $e$
( $e$ eccentricità della conica, nel caso della parabola è sempre uguale a $1$).

Dimostrazione: L'eccentricità della parabola è $e=1$. Siano $F=(\displaystyle\frac{p}{2},0)$ il fuoco, $\displaystyle
d:x=-\frac{p}{2}$ la direttrice. Per un punto $P(x,y)$ la condizione è che

\begin{displaymath}
\frac{d(P,F)}{d(P,d)}=1
\end{displaymath}

cioè

\begin{displaymath}
d(P,F)=d(P,d)
\end{displaymath}


\begin{displaymath}
\displaystyle\sqrt{(x-\frac{p}{2})^2+y^2}=x+\frac{p}{2}
\end{displaymath}


\begin{displaymath}
\displaystyle x^2+(\frac{p}{2})^2-px+y^2=x^2+(\frac{p}{2})^2+px
\end{displaymath}


\begin{displaymath}
y^2=2px
\end{displaymath}

che è proprio l'equazione canonica della parabola con asse coincidente con l'asse delle $x$.
Figura: I punti della parabola sono alla stessa distanza rispetto al fuoco e alla direttrice.
\includegraphics[width=9cm,height=7.5cm]{p-luogogeom}
Per ottenere l'equazione di $\mathcal{C}$ con asse coincidente con l'asse delle $y$ attraverso la definizione di luogo geometrico basta applicare il cambiamento di coordinate ([*]) al fuoco e alla direttrice. Sostituendo poi a $d(P,F)=d(P,d)$ otterremo l'equazione cercata.

Esempio 1   Trovare l'equazione della parabola di direttrice $d:y=-4$ e fuoco $F(0,4)$.
Soluzione: Si tratta di una parabola con asse di simmetria verticale. Sia $P=(x,y)$ un punto sulla parabola. Poichè $d(P,F)=d(P,d)$ sostituendo abbiamo:

\begin{displaymath}
x^2+(y-4)^2=(y+4)^2
\end{displaymath}

allora, eseguendo i calcoli abbiamo che l'equazione cercata è:

\begin{displaymath}
x^2=16y
\end{displaymath}





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Claudio Benizi 2002-09-26