Dimostrazione
Denotiamo con $F$, $F'$ rispettivamente, i due fuochi. Fissiamo un sistema cartesiano $(O,x,y)$ tale che l'asse $x$ passi per $F$ e $F'$. Allora i due fuochi avranno coordinate $(\pm c,0)$. Il punto $P=(x,y)$ verifica la condizione $d(P,F)+d(P,F')=2a$ se e solo se $\displaystyle\sqrt{(x+c)^{2}+y^{2}}+\sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}}=2a$; spostando la seconda radice al secondo membro, e elevando due volte al quadrato, otteniamo:

\begin{displaymath}
\sqrt{(x+c)^{2}+y^{2}}=2a- \sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}}
\end{displaymath}


\begin{displaymath}
(x+c)^{2}-(x-c)^{2}=4a^{2}-4a\sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}}
\end{displaymath}


\begin{displaymath}
x^{2}+c^{2}+2xc-x^{2}-c^{2}+2xc-4a^{2}=-4a\sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}}
\end{displaymath}


\begin{displaymath}
16(xc-a^{2})^{2}=16a^{2}[(x-c)^{2}+y^{2}]
\end{displaymath}


\begin{displaymath}
x^{2}(a^{2}-c^{2})+a^{2}y^{2}=a^{2}(a^{2}-c^{2})
\end{displaymath}

si arriva poi all'identità

\begin{displaymath}
\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{(a^{2}-c^{2})}=1
\end{displaymath}

la quale rappresenta, posto $b^{2}=a^{2}-c^{2}$, l'equazione canonica dell'ellisse.