Osserviamo che nel caso b), abbiamo che
10 º 2
(mod 4)
102 º 22 º 0 (mod
4)
103 º 10×102 º 0 (mod 4)
e, poiché preso 10n con n ³2, si ha 10n º 0 (mod 4), si deduce per induzione che
an..a0 º a0+10×a1 = a1a0 (mod 4).
Il criterio di divisibilità segue dal fatto che se i due numeri sono congrui modulo 4, allora uno è divisibile per 4 se e solo se lo è anche l’altro.
Continuando così per gli altri criteri, avremo che nel caso c)
10 º 1 (mod
3)
102 º 12 º1 (mod 3)
103 º 13 º 1 (mod 3),
ossia, preso 10n con n ³2, si ha 10n º 1 (mod 3), da cui abbiamo che
an..a0 º a0+ a1+…+ an (mod 3).
Il caso d) è del tutto analogo a quello appena discusso, mentre per il caso e) abbiamo che
10 º -1
(mod 11)
102 º (-1)2 º 1 (mod 11)
103 º (-1)3 º -1 (mod 11),
per cui, proseguendo nelle congruenze, avremo che 10n º (-1)n (mod 11) e quindi il valore 1 per le potenze pari di 10, mentre –1 per quelle dispari, da cui segue
an..a0 º a0-a1+a2-…+(-1)n an
(mod 11).
Il caso f) risulta essere il più complesso e questo è un motivo per cui il suo utilizzo non è molto diffuso:
10 º 3 (mod 7)
102 º 32 º 2 (mod 7)
103 º 3×2 º -1 (mod 7)
104 º 3×(-1) º -3 (mod 7)
105 º 3×(-3) º -2 (mod 7)
106 º 3×(-2) º 1 (mod 7)
107 º 3×1 º 3 (mod 7)
da notare che, poiché i resti si ripetono ciclicamente come previsto dal teorema di Fermat, è sufficiente conoscere i primi 7 coefficienti per comporre la serie completa di resti, per cui
an..a0
º a0+ 3a1+2a2-a3-3a4-2a5+a6+..
(mod 7)