Risoluzione 8:

 

    

A è un anello commutativo e contiene gli ideali banali che sono:

 

 

Sappiamo che un ideale è un sottogruppo I di A tale che:

Cerchiamo gli ideali diversi da quelli banali. I sottogruppi di A non banali sono:

 

 

 

 

Supponiamo che I = <([0]2, [1]2)> sia un ideale.

Sia ([0]2, [1]2) un elemento di I e vediamo che moltiplicato per la coppia ([a]2, [b]2) di A è ancora un elemento di I.

 

 

 

Inoltre ogni elemento di A moltiplicato per la coppia ([0]2, [0]2) di I da come risultato:

 

 

 

Dunque I è un ideale di A.

 

Si dimostra allo stesso modo cheanche J = <([1]2,[0]2)> è un ideale di A,

mentre K = <([1]2,[1]2)> non lo è perché:

 

 

 

    

 Gli ideali di B sono dati da tutti i sottogruppi di B tranne quello generato da:

 

<([1]2, [1]2, [1]2 )>.

 

 

    

0 e C sono ideali banali.

Inoltre i sottogruppi di C sono della forma:

 

 

Dimostriamo che I è un ideale di C.

Sia (ma, nb) un elemento di I e (s, t) di C. Allora:

 

 

poiché è una coppia data da multipli di a e di b.

 

Quindi I è un ideale di C.