Risoluzione 8:
A è un anello commutativo e contiene gli ideali banali che
sono:
Sappiamo che un ideale è un sottogruppo
I di A tale che:
Cerchiamo
gli ideali diversi da quelli banali. I sottogruppi di A non banali sono:
Supponiamo che I = <([0]2,
[1]2)> sia un ideale.
Sia ([0]2, [1]2)
un elemento di I e vediamo che moltiplicato per la coppia ([a]2,
[b]2) di A è ancora un elemento di I.
Inoltre ogni elemento di A
moltiplicato per la coppia ([0]2, [0]2) di I da come risultato:
Dunque I è un ideale di A.
Si dimostra allo stesso modo
cheanche J = <([1]2,[0]2)> è un ideale di A,
mentre K = <([1]2,[1]2)>
non lo è perché:
Gli ideali di B sono dati da tutti i sottogruppi di B tranne quello generato da:
<([1]2, [1]2, [1]2
)>.
0 e C sono ideali banali.
Inoltre i sottogruppi di C sono della forma:
Dimostriamo che I è un ideale di C.
Sia (ma, nb) un elemento di I e (s, t) di C. Allora:
poiché è una coppia data da multipli di a e di b.
Quindi I è un ideale di C.