Risoluzione 4:

Affinché R sia un sottoanello devono valere le seguenti condizioni:

1. 0, 1 stanno in R;

2. Se a è un elemento di R allora anche (-a) lo è;

Dimostriamole una ad una:

1. 0 sta in R, infatti basta prendere h = 0 (0 è un intero);

1 sta R, infatti basta prendere k e h appartenenti a Z con h = 1 e k = 0 oppure h = 2k + 1;

Vediamo a cosa corrispondono a + b e ab.

poiché essendo Z un sottoanello di Q, somme e prodotti di interi danno come risultato ancora

degli interi, per cui sia 2hy + h + 2kx + x che 2ky + k + y sono elementi di Z.

poiché, per quanto detto prima, sia q = hx che s = 2ky + k + y sono elementi di Z.

Allora R è un sottoanello di Q.