Gli anelli, così come i gruppi e i campi, fanno parte di quell’algebra che si occupa delle relazioni generali di composizione tra gli elementi di un insieme e delle loro proprietà, indipendentemente dalla natura degli elementi stessi. Questo tipo di algebra viene detta “astratta” proprio perché si occupa di enti astratti non specificando la natura degli elementi stessi. In questo modo le caratteristiche degli insiemi non vengono stabilite dagli oggetti che li compongono, bensì dalle leggi che pongono in relazione tra di loro gli oggetti stessi.

L’inizio dell’indirizzo assiomatico e astratto nel campo dell’algebra si ha con la pubblicazione nel 1842 e nel 1845 di un’opera in due volumi di George Peacock (1791-1858); in questi volumi Peacock sviluppò ulteriormente le leggi commutativa e associativa dell’addizione e della moltiplicazione e la legge distributiva della moltiplicazione rispetto all’addizione formulate precedentemente, applicandole inizialmente ai numeri  e successivamente allo studio delle grandezze in generale.

L’interesse per lo studio e la creazione di nuove algebre portò all’elaborazione di concetti molto generali riguardo ai numeri e all’aritmetica:

- Gauss (1777-1855) generalizzò il concetto di  numero intero attraverso lo studio degli interi gaussiani;

- Dedekind (1831-1916) introdusse il concetto degli interi algebrici: i numeri che sono radici di un equazione algebrica a coefficienti interi e il cui coefficiente direttore è uguale a 1.

Queste generalizzazioni del termine “intero” sono però conseguite a prezzo della perdita dell’unicità della scomposizione in fattori che però può essere preservata con la teoria degli ideali. Questa teoria nasce da un  matematico contemporaneo di Dedekind, Ernst Eduard Kummel (1810-1893), che nel tentare di dimostrare il teorema di Fermat creò questa nuova aritmetica.

In questa sezione approfondiremo il concetto di anello, mostrandone dapprima le proprietà generali; poi, analizzandoli in maniera più particolareggiata, passeremo a studiare particolari anelli quali: domini di integrità, anelli euclidei, anelli quoziente, passando anche attraverso il concetto di ideale. Infine, come esempio, parleremo degli interi di Gauss e dei polinomi che, come qualcuno di noi ha gia visto nelle scuole medie superiori, formano un anello abeliano unitario rispetto all’addizione e alla moltiplicazione.

 

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