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TEOREMA DI ROUCHÉ-CAPELLI |
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TEOREMA DI ROUCHÉ-CAPELLI |
Dimostrazione
Una n-upla (x1,...,xn) è soluzione del sistema Ax = B se e solo se si ha 
La formula precedente esprime la condizione che il vettore B sia combinazione lineare delle colonne di A. Questa condizione è verificata se e solo se la matrice A , B ha lo stesso rango per colonne di A, cioè se e solo se 
La prima parte del teorema è dimostrata. Se  possiamo supporre che le sue prime r equazioni
siano linearmente indipendenti e sostituire il sistema Ax = B
con il sistema equivalente:  Applicando il metodo di eliminazione di Gauss a quest'ultimo sistema, nessuna delle equazioni si riduce a 0 = 0 perchè ciò implicherebbe che essa è linearmente dipendente da quelle che la precedono. Quindi il sistema Ax = B si può trasformare in un sistema a gradini di r equazioni. Ciò significa che l'ultimo sistema, e quindi Ax = B , possiede  soluzioni.
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