La diagonale del quadrato ed il suo lato sono incommensurabili

    Supponiamo che il rapporto fra il lato AB e la diagonale AD del quadrato ABCD sia dato da una frazione del tipo m/n, ridotta ai minimi termini, cioè tale che m ed n non abbiano fattori comuni (possiamo pensare "pitagoricamente" che AB sia costituito da m ed AD da n "atomi").

    Per il Teorema di Pitagora, avremo che AD 2 = AB2+ BD2, e poichè AB = BD, si ha:

n2 = m2+ m2 = 2 m2 .

   Da qui si vede che n non può essere dispari, perchè in quel caso anche n2 lo sarebbe, mentre 2m2 è ovviamente pari.

    Ma n non può neanche essere pari, perchè in quel caso n si può scrivere n = 2k, essendo divisibile per 2. Allora avremmo che  n2 = 2k×2k = 4k2 = 2 m2,  e quindi m2 = 2k 2 , cioè m2 è pari.
    Ma ciò implica che anche m è pari, e così m ed n sono entrambi divisibili per 2, mentre avevamo supposto che non avessero fattori comuni.
   Quindi siamo caduti in assurdo, ed è perciò impossibile che il rapporto fra AB ed AD sia un quoziente di numeri interi. Notiamo che quello che abbiamo dimostrato può essere espresso come:   "   non è un numero razionale".
 

Esercizio 2:  Trovare un altro (o più) modi di dimostrare che AD ed AB sono incommensurabili.