Sia  A  l'area del cerchio; allora :
Vogliamo vedere che si cadrà in assurdo se si suppone che esista un numero positivo k per cui si abbia:
 
      Infatti, consideriamo un poligono regolare inscritto nel cerchio tale che la sua apotema  a  sia maggiore di  (r - k/C ). Notiamo che si può sempre trovare un poligono siffatto, perchè prendendolo con un numero sufficentemente alto di lati si può rendere vicina ad  quanto si vuole), inoltre il poligono sia anche tale che il suo perimetro sia maggiore di C - k/ r (anche questo è possibile perché scegliendo un poligono con un numero sufficientemente grande di lati,  P può essere vicino a C quanto vogliamo).

    L'area  A'  del poligono è , ed avremo quindi:


    perciò

    in contraddizione con
 

    Per vedere che l'area del cerchio non è maggiore di  si procede in modo analogo, ma considerando un poligono circoscritto al cerchio.


Esercizio 3:   Completare la dimostrazione trovando l'assurdo nel caso  A > .