In questo trattato, Archimede calcola le aree e i volumi delle sezioni di coni, sfere e

paraboloidi.

 
Non riuscì mai a calcolare l'area di un singolo segmento di iperbole o ellisse, ma determinò l'area di tutta l'ellisse:

Equivalentemente, l'area dell'ellisse è uguale all'area del cerchio che presenta un raggio che è la media geometrica dei semiassi dell'ellisse.

Inoltre calcolò il volume dei segmenti determinati da un ellissoide, un paraboloide o un iperboloide di rivoluzione attorno all'asse principale. Per farlo utilizzò quello che oggi è l'analogo del principio di integrazione, che si svilupperà completamente in era moderna solo nel 1600 e verrà reso rigoroso, con il concetto di limite, a partire dal 1800. Ancora una volta, quindi, abbiamo la conferma di quanto la matematica moderna sia debitrice dei metodi di Archimede!